Failure of Wiener’s Property for Positive Definite Periodic Functions

We say that Wiener’s property holds for the exponent p > 0 if we have that whenever a positive definite function f belongs to L(−ε, ε) for some ε > 0, then f necessarily belongs to L(T), too. This holds true for p ∈ 2N by a classical result of Wiener. Recently various concentration results were proved for idempotents and positive definite functions on measurable sets on the torus. These new results enable us to prove a sharp version of the failure of Wiener’s property for p / ∈ 2N. Thus we obtain strong extensions of results of Wainger and Shapiro, who proved the negative answer to Wiener’s problem for p / ∈ 2N. Contre-exemples à la propriété de Wiener pour les fonctions périodi– ques définies-positives. Résumé. On dit que l’exposant p possède la propriété de Wiener si toute fonction périodique définie-positive qui est de puissance p-ième intégrable au voisinage de 0 l’est sur un intervalle de période. C’est le cas des entiers pairs, d’après un résultat classique de Wiener. Nous avons récemment obtenu des phénomènes de concentration des polynômes idempotents ou définis-positifs sur un ensemble mesurable du tore qui nous permettent de donner une version forte du fait que les exposants p / ∈ 2N n’ont pas la propriété de Wiener, améliorant ainsi les résultats de Wainger et Shapiro.